Hölder-Ungleichung

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In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].

Höldersche Ungleichung

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Gegeben sei ein Maßraum und messbare Funktionen

Für und mit der Konvention definiert man

und

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für mit , wobei vereinbart ist, gilt

Man bezeichnet als den zu konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist der Raum der -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist die Lp-Norm, so gilt für immer

.

Schwarzsche Ungleichung

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Wählt man als Maßraum , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen , so lautet die Hölder-Ungleichung mit

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

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Wählt man als Maßraum die endliche Menge , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen . Für erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Höldersche Ungleichung für Reihen

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Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

.

für reelle oder komplexe Folgen . Im Grenzfall entspricht dies

.

Verallgemeinerung

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Es seien sowie und für alle .

Dann folgt

und es gilt die Abschätzung

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls eine Familie von Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und nicht-negative reelle Zahlen mit sind, so gilt

Umgekehrte Höldersche Ungleichung

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Es sei für fast alle .

Dann gilt für alle die umgekehrte Höldersche Ungleichung

Beweis der Hölderschen Ungleichung

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Für (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass gilt. Ohne Einschränkung seien und . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

für alle . Setze hierin speziell ein. Integration liefert

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

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Der Beweis wird per vollständiger Induktion über geführt. Der Fall ist trivial. Sei also nun und ohne Einschränkung sei . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: Dann ist Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

Fall 2: . Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten gilt

also . Nun ist . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen Ungleichung

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Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten und wählt. Man erhält damit:

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Beweis der Minkowski-Ungleichung

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Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

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Seien und , dann folgt und es gilt die Interpolationsungleichung

mit beziehungsweise für .

Beweis: Ohne Einschränkung sei . Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere mit . Dies ist möglich, da und somit auf der Verbindungsstrecke zwischen und liegt. Beachte, dass und konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

.

Potenzieren der Ungleichung mit und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

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Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

für und .

Einzelnachweise

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  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.