Hilbert-Metrik

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In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Eine kompakte konvexe Menge.

Sei eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten gibt es dann eine eindeutige Gerade durch und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand . Die beiden Schnittpunkte seien mit bezeichnet, wobei näher an und näher an liege. Der Hilbert-Abstand ist dann auf definiert durch die Formel

für und .

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

für .

Im Folgenden seien zwei kompakte, konvexe Mengen und die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

  • Aus folgt für alle .
  • Wenn es eine lineare Abbildung mit gibt, dann ist für alle .
.

Projektive Geometrie

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Sei eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge heißt eigentlich, wenn es eine enthaltende affine Karte gibt, in der einer beschränkten Menge entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf durch die Hilbert-Metrik auf . Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte auf der durch und bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von hochheben.

Die Hilbert-Metrik auf wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

  • Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
  • Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)